Cos'è isomorfismo?

In matematica, l'isomorfismo è una nozione di equivalenza tra due strutture algebriche. Due strutture algebriche sono considerate isomorfe se esiste una corrispondenza tra di loro che preserva le operazioni e le proprietà strutturali.

Più precisamente, dati due insiemi A e B con operazioni binarie definite su di essi, un isomorfismo è una funzione biunivoca che mappa gli elementi di A negli elementi di B in modo tale che le operazioni tra gli elementi di A corrispondano alle operazioni tra gli elementi di B.

Ad esempio, consideriamo due gruppi (un tipo di struttura algebrica): G1 = {1, 2, 3, 4} con l'operazione di moltiplicazione modulo 5 e G2 = {1, 4, 6, 9} con l'operazione di moltiplicazione modulo 10. Se esiste una funzione biunivoca che mappa gli elementi di G1 negli elementi di G2 in modo che l'operazione di moltiplicazione modulo 5 in G1 corrisponda all'operazione di moltiplicazione modulo 10 in G2, allora si può dire che G1 e G2 sono isomorfi.

Gli isomorfismi possono essere definiti tra diversi tipi di strutture algebriche, come gruppi, anelli, campi, spazi vettoriali, ecc. Essi sono utilizzati per stabilire relazioni di equivalenza tra le strutture algebriche e per studiare le loro proprietà attraverso la conoscenza di altre strutture precedentemente studiate.

Gli isomorfismi hanno un ruolo importante nella teoria degli omomorfismi, che generalizza il concetto di isomorfismo consentendo una mappa che preserva solo alcune delle proprietà strutturali.