Polinomio

Un polinomio è un'espressione matematica composta da variabili (chiamate anche indeterminate) e coefficienti, che coinvolge solo le operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione ed elevamento a potenza con esponenti interi non negativi delle variabili. In altre parole, un polinomio è una somma di monomi.

Definizione formale:

Un polinomio in una singola variabile x è un'espressione della forma:

p(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ... + a_1 x + a_0

dove:

• x è la variabile (o indeterminata).
• a_n, a_{n-1}, ..., a_1, a_0 sono i coefficienti, che sono numeri (reali, complessi, etc.).
• n è un intero non negativo chiamato grado del polinomio (se a_n ≠ 0).
• a_n x^n, a_{n-1} x^{n-1}, ..., a_1 x, a_0 sono i monomi del polinomio. a_0 è il termine%20noto.

Esempi:

• 3x^2 + 2x - 1 è un polinomio di grado 2.
• 5x^4 - 7x + 2 è un polinomio di grado 4.
• 7 è un polinomio di grado 0 (costante).
• 0 è il polinomio nullo, a cui non viene attribuito un grado.
• x^-1 + 2x non è un polinomio perché ha un esponente negativo.
• √x + x^2 non è un polinomio perché ha una radice della variabile.

Operazioni sui polinomi:

I polinomi possono essere sommati, sottratti, moltiplicati e divisi (con resto).

• Somma e sottrazione: Si sommano o sottraggono i termini simili (cioè i monomi con la stessa variabile e lo stesso esponente).
• Moltiplicazione: Si moltiplica ogni termine di un polinomio per ogni termine dell'altro polinomio e si sommano i termini simili.
• Divisione: La divisione tra polinomi è simile alla divisione tra numeri interi, producendo un quoziente e un resto. Un caso particolare importante è la regola%20di%20Ruffini per la divisione di un polinomio per un binomio del tipo x - a.

Radici di un polinomio:

Una radice (o zero) di un polinomio p(x) è un valore x = c tale che p(c) = 0. Trovare le radici di un polinomio è un problema fondamentale in algebra.

Teorema fondamentale dell'algebra:

Ogni polinomio di grado n con coefficienti complessi ammette esattamente n radici complesse (contate con la loro molteplicità).

Applicazioni:

I polinomi sono ampiamente utilizzati in matematica, fisica, ingegneria e in molti altri campi. Sono usati per modellare curve, approssimare funzioni, risolvere equazioni e analizzare dati.