Cos'è polinomi?

Polinomi

Un polinomio è un'espressione matematica composta da variabili (chiamate anche indeterminati) e coefficienti, combinati usando solo le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione, con esponenti interi non negativi delle variabili.

Definizione formale: Un polinomio in una singola variabile x è un'espressione della forma:

a<sub>n</sub>x<sup>n</sup> + a<sub>n-1</sub>x<sup>n-1</sup> + ... + a<sub>1</sub>x + a<sub>0</sub>

dove:

  • x è la variabile (o indeterminata).
  • a<sub>n</sub>, a<sub>n-1</sub>, ..., a<sub>1</sub>, a<sub>0</sub> sono i coefficienti (che possono essere numeri reali, complessi o appartenenti a un altro campo).
  • n è un intero non negativo, chiamato il grado del polinomio (se a<sub>n</sub> ≠ 0). Il grado determina il comportamento del polinomio. (Vedi: https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Grado%20di%20un%20Polinomio)
  • a<sub>n</sub>x<sup>n</sup>, a<sub>n-1</sub>x<sup>n-1</sup>, ..., a<sub>1</sub>x, a<sub>0</sub> sono i termini del polinomio.
  • a<sub>0</sub> è il termine costante (o termine indipendente).

Esempi:

  • 3x<sup>2</sup> + 2x - 1 è un polinomio di grado 2.
  • 5x<sup>4</sup> - x + 7 è un polinomio di grado 4.
  • 7 è un polinomio di grado 0 (un polinomio costante).
  • x<sup>-1</sup> + 2x non è un polinomio perché ha un esponente negativo.
  • √x + 3x è non è un polinomio perché ha un esponente non intero (1/2).

Operazioni sui polinomi:

  • Addizione e Sottrazione: Si sommano o sottraggono i termini simili (cioè i termini con la stessa variabile e lo stesso esponente).
  • Moltiplicazione: Si moltiplica ogni termine di un polinomio per ogni termine dell'altro polinomio e poi si sommano i termini simili.
  • Divisione: La divisione tra polinomi è un processo più complesso che produce un quoziente e un resto. (Vedi: https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Divisione%20Tra%20Polinomi)

Radici di un polinomio:

Una radice (o zero) di un polinomio P(x) è un valore x tale che P(x) = 0. Trovare le radici di un polinomio è un problema fondamentale in algebra. (Vedi: https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Radici%20di%20un%20Polinomio)

Teoremi importanti:

  • Teorema Fondamentale dell'Algebra: Ogni polinomio di grado n (con coefficienti complessi) ha esattamente n radici complesse (contate con la loro molteplicità).
  • Teorema del Fattore: Un numero a è una radice di un polinomio P(x) se e solo se (x - a) è un fattore di P(x).
  • Teorema di Ruffini: Utilizzato per semplificare la divisione tra polinomi quando si divide per un binomio della forma (x - a). (Vedi: https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Teorema%20di%20Ruffini)

Applicazioni:

I polinomi hanno numerose applicazioni in matematica, fisica, ingegneria e informatica, tra cui:

  • Modellazione di curve e superfici.
  • Approssimazione di funzioni.
  • Risoluzione di equazioni.
  • Crittografia.
  • Elaborazione del segnale.