Cos'è paradosso di russell?

Il paradosso di Russell, scoperto dal filosofo e logico Bertrand Russell nel 1901, dimostra una contraddizione all'interno della teoria degli insiemi di Georg Cantor. In termini semplici, il paradosso mette in discussione la possibilità di definire un insieme che contenga tutti gli insiemi che non contengono se stessi.

La formulazione del paradosso è la seguente:

Si consideri l'insieme R, definito come l'insieme di tutti gli insiemi che non sono membri di se stessi:

R = {x | x ∉ x}

La domanda cruciale è: R è un membro di se stesso (R ∈ R) oppure no (R ∉ R)?

• Se R ∈ R (R è membro di se stesso): Questo significa che R soddisfa la condizione per appartenere a R, ovvero R non deve contenere se stesso. Quindi, se R ∈ R, allora R ∉ R, che è una contraddizione.

• Se R ∉ R (R non è membro di se stesso): Questo significa che R soddisfa la condizione per non appartenere a se stesso, e quindi dovrebbe essere incluso nell'insieme R. Quindi, se R ∉ R, allora R ∈ R, che è di nuovo una contraddizione.

In entrambi i casi, si arriva ad una contraddizione logica. Questa contraddizione mina l'idea di poter formare insiemi arbitrari semplicemente specificando una proprietà. Il paradosso di Russell evidenziò la necessità di fondare la teoria degli insiemi su basi assiomatiche più solide per evitare tali paradossi. Portò allo sviluppo di nuove teorie degli insiemi come la Teoria degli insiemi di Zermelo-Fraenkel (ZFC), che, attraverso un sistema di assiomi, vieta la formazione di insiemi che portano a contraddizioni come quella evidenziata dal paradosso.