Cambiaso è un termine utilizzato in matematica, specificamente nel calcolo integrale, per descrivere una tecnica di sostituzione di variabile. Questa tecnica è anche nota come integrazione per sostituzione.
L'idea principale del cambiaso è quella di semplificare un integrale più complesso trasformandolo in un integrale più facile da risolvere. Questo viene fatto introducendo una nuova variabile (la sostituzione) che è funzione della variabile originale.
Identificare una sostituzione appropriata: Il successo del cambiaso dipende dalla scelta di una sostituzione che semplifichi l'integrale. Spesso, la sostituzione è una funzione interna all'integrale o la derivata di una funzione presente nell'integrale.
Calcolare il differenziale della nuova variabile: Se introduciamo una nuova variabile u = g(x), dobbiamo calcolare il differenziale du = g'(x) dx.
Esprimere l'integrale in termini della nuova variabile: Sostituiamo x e dx nell'integrale originale con u e du.
Risolvere l'integrale risultante: L'integrale in termini di u dovrebbe essere più semplice da risolvere rispetto all'integrale originale.
Sostituire nuovamente la variabile originale: Dopo aver risolto l'integrale in u, sostituiamo u con la sua espressione in termini di x per ottenere la soluzione finale in termini della variabile originale.
Un esempio classico è l'integrazione di ∫2x * e^(x^2) dx. In questo caso, una sostituzione appropriata potrebbe essere u = x^2. Allora du = 2x dx. Sostituendo nell'integrale, otteniamo ∫e^u du, che è molto più semplice da risolvere.
Il cambiaso è particolarmente utile quando:
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