Cos'è laplaciano?

Il Laplaciano è un operatore differenziale di secondo ordine che generalizza il concetto di "curvatura" di una funzione in spazi multidimensionali. È fondamentale in molte aree della fisica e dell'ingegneria, inclusi elettrostatica, meccanica dei fluidi, trasferimento di calore e propagazione delle onde.

In termini matematici, il Laplaciano di una funzione scalare f (definita su uno spazio euclideo n-dimensionale) è definito come la somma di tutte le derivate parziali seconde della funzione rispetto a ciascuna variabile indipendente:

∇² f = Δ f = ∂²f/∂x₁² + ∂²f/∂x₂² + ... + ∂²f/∂xₙ²

Dove:

• ∇² (o Δ) è il simbolo del Laplaciano.
• ∂²f/∂xᵢ² rappresenta la derivata parziale seconda di f rispetto alla variabile xᵢ.

Interpretazioni:

• Curvatura: Intuitivamente, il Laplaciano di una funzione in un punto fornisce una misura di quanto il valore della funzione in quel punto differisce dalla media dei valori della funzione in un intorno circostante. Un Laplaciano positivo indica che il valore della funzione è inferiore alla media circostante, mentre un Laplaciano negativo indica il contrario. Un Laplaciano zero indica che il valore della funzione è uguale alla media circostante (in questo caso, la funzione è detta armonica).

• Divergenza del gradiente: Il Laplaciano può anche essere interpretato come la divergenza del gradiente della funzione. Ovvero, ∇² f = ∇ ⋅ (∇ f), dove ∇ ⋅ rappresenta la divergenza e ∇ rappresenta il gradiente.

Coordinate:

La forma del Laplaciano varia a seconda del sistema di coordinate utilizzato. Ecco alcune espressioni comuni:

• Coordinate Cartesiane (3D):

  ∇² f = ∂²f/∂x² + ∂²f/∂y² + ∂²f/∂z²

• Coordinate Cilindriche:

  ∇² f = (1/ρ) ∂/∂ρ (ρ ∂f/∂ρ) + (1/ρ²) ∂²f/∂φ² + ∂²f/∂z²

• Coordinate Sferiche:

  ∇² f = (1/r²) ∂/∂r (r² ∂f/∂r) + (1/(r²sinθ)) ∂/∂θ (sinθ ∂f/∂θ) + (1/(r²sin²θ)) ∂²f/∂φ²

Applicazioni:

Il Laplaciano appare in numerose equazioni differenziali parziali, tra cui:

• Equazione di Laplace: ∇² f = 0. Le soluzioni di questa equazione sono dette funzioni armoniche.

• Equazione di Poisson: ∇² f = g, dove g è una funzione nota.

• Equazione del calore: ∂u/∂t = α ∇² u, dove u è la temperatura e α è la diffusività termica.

• Equazione delle onde: ∂²u/∂t² = c² ∇² u, dove u è lo spostamento dell'onda e c è la velocità dell'onda.

Queste equazioni modellano una vasta gamma di fenomeni fisici, rendendo il Laplaciano uno strumento matematico potente e versatile.