Cos'è laplace?
Trasformata di Laplace
La trasformata di Laplace è una trasformata integrale che converte una funzione f(t), definita per t ≥ 0, in una funzione F(s) della variabile complessa s. È uno strumento potente utilizzato in diversi campi della scienza e dell'ingegneria, in particolare per la risoluzione di equazioni differenziali e l'analisi di sistemi lineari.
Definizione:
La trasformata di Laplace di f(t) è definita come:
F(s) = ∫₀<sup>∞</sup> f(t) e<sup>-st</sup> dt
dove s è una variabile complessa (s = σ + jω), e l'integrale converge.
Funzioni Comuni e le Loro Trasformate di Laplace:
- Funzione gradino unitario (Heaviside): u(t) → 1/s
- Esponenziale: e<sup>at</sup> → 1/(s - a)
- Potenza: t<sup>n</sup> → n! / s<sup>n+1</sup>
- Seno: sin(at) → a / (s² + a²)
- Coseno: cos(at) → s / (s² + a²)
Proprietà Importanti:
- Linearità: L{af(t) + bg(t)} = aL{f(t)} + bL{g(t)} (dove a e b sono costanti)
- Derivazione nel dominio del tempo: L{f'(t)} = s*F(s) - f(0)
- Integrazione nel dominio del tempo: L{∫₀<sup>t</sup> f(τ) dτ} = F(s) / s
- Teorema del valore iniziale: lim<sub>t→0</sub> f(t) = lim<sub>s→∞</sub> s*F(s)
- Teorema del valore finale: lim<sub>t→∞</sub> f(t) = lim<sub>s→0</sub> s*F(s) (se il limite esiste)
- Traslazione nel dominio del tempo: L{f(t - a)u(t - a)} = e<sup>-as</sup>*F(s)
- Traslazione nel dominio di Laplace: L{e<sup>at</sup> f(t)} = F(s - a)
Trasformata di Laplace Inversa:
L'operazione inversa, che riporta F(s) al dominio del tempo f(t), è chiamata trasformata di Laplace inversa e si denota come:
f(t) = L<sup>-1</sup>{F(s)}
Il calcolo della trasformata inversa spesso si basa su tabelle di trasformate note e sulla scomposizione in frazioni parziali.
Applicazioni:
- Risoluzione di equazioni differenziali: La trasformata di Laplace trasforma un'equazione differenziale nel dominio del tempo in un'equazione algebrica nel dominio di Laplace, che è spesso più facile da risolvere. La soluzione nel dominio di Laplace viene quindi trasformata nuovamente nel dominio del tempo usando la trasformata di Laplace inversa.
- Analisi di circuiti elettrici: La trasformata di Laplace semplifica l'analisi di circuiti contenenti resistenze, induttanze e condensatori, specialmente quando si studiano le risposte transitorie.
- Teoria del controllo: Utilizzata per analizzare la stabilità e la risposta di sistemi di controllo. Si veda, ad esempio, la funzione di trasferimento.
- Probabilità e Statistica: Utilizzata nella definizione della funzione generatrice dei momenti.