Cos'è fattoriale?

Fattoriale

Il fattoriale di un numero intero non negativo n, denotato con n!, è il prodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali a n. In termini matematici:

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

Ad esempio:

  • 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

Definizione Formale

La definizione formale del fattoriale è data dalla seguente relazione ricorsiva:

  • 0! = 1 (Per convenzione, il fattoriale di zero è 1)
  • n! = n × (n-1)! per n > 0

Applicazioni

Il concetto di fattoriale è fondamentale in diversi ambiti della matematica, tra cui:

  • Calcolo combinatorio: Il fattoriale viene utilizzato per calcolare il numero di permutazioni (cioè, il numero di modi possibili per ordinare un insieme di oggetti). Ad esempio, il numero di modi per ordinare 5 oggetti distinti è 5!.
  • Probabilità: Il fattoriale compare in molte formule di probabilità, in particolare quelle legate alla combinatoria.
  • Serie di Taylor: Il fattoriale è presente nei denominatori dei termini delle serie di Taylor, che vengono utilizzate per approssimare funzioni.
  • Funzione Gamma: La funzione gamma è una generalizzazione del fattoriale ai numeri complessi. Per gli interi positivi, Γ(n) = (n-1)!.

Proprietà Importanti

  • Il fattoriale cresce molto rapidamente con l'aumentare di n. Per n sufficientemente grande, n! può diventare molto grande e difficilmente calcolabile direttamente.
  • Approssimazione di Stirling: Questa formula fornisce un'approssimazione del fattoriale per valori grandi di n: n! ≈ √(2πn) (n/e)^n

Esempio di Calcolo

Ecco come calcolare il fattoriale di 7:

7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040