Cos'è fattoriale?
Fattoriale
Il fattoriale di un numero intero non negativo n, denotato con n!, è il prodotto di tutti gli interi positivi minori o uguali a n. In termini matematici:
n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1
Ad esempio:
- 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120
Definizione Formale
La definizione formale del fattoriale è data dalla seguente relazione ricorsiva:
- 0! = 1 (Per convenzione, il fattoriale di zero è 1)
- n! = n × (n-1)! per n > 0
Applicazioni
Il concetto di fattoriale è fondamentale in diversi ambiti della matematica, tra cui:
- Calcolo combinatorio: Il fattoriale viene utilizzato per calcolare il numero di permutazioni (cioè, il numero di modi possibili per ordinare un insieme di oggetti). Ad esempio, il numero di modi per ordinare 5 oggetti distinti è 5!.
- Probabilità: Il fattoriale compare in molte formule di probabilità, in particolare quelle legate alla combinatoria.
- Serie di Taylor: Il fattoriale è presente nei denominatori dei termini delle serie di Taylor, che vengono utilizzate per approssimare funzioni.
- Funzione Gamma: La funzione gamma è una generalizzazione del fattoriale ai numeri complessi. Per gli interi positivi, Γ(n) = (n-1)!.
Proprietà Importanti
- Il fattoriale cresce molto rapidamente con l'aumentare di n. Per n sufficientemente grande, n! può diventare molto grande e difficilmente calcolabile direttamente.
- Approssimazione di Stirling: Questa formula fornisce un'approssimazione del fattoriale per valori grandi di n:
n! ≈ √(2πn) (n/e)^n
Esempio di Calcolo
Ecco come calcolare il fattoriale di 7:
7! = 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 5040