Serie di Taylor
La serie di Taylor è una rappresentazione di una funzione differenziabile in un intorno di un punto, tramite una serie infinita di termini calcolati a partire dalle derivate della funzione in quel punto. È uno strumento fondamentale in analisi matematica e fisica, utilizzato per approssimare funzioni complesse con polinomi, semplificando così i calcoli e l'analisi.
Definizione:
Sia f una funzione reale o complessa, derivabile infinite volte in un intorno del punto a. La serie di Taylor di f centrata in a è definita come:
f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)/1! + f''(a)(x-a)^2/2! + f'''(a)(x-a)^3/3! + ... = ∑[n=0, ∞] (f^(n)(a) * (x-a)^n) / n!
Dove:
- f^(n)(a) rappresenta la n-esima derivata di f valutata nel punto a.
- n! rappresenta il fattoriale di n.
- (x-a) è la distanza tra il punto x dove si valuta la serie e il centro della serie a.
Concetti Chiave:
Applicazioni:
- Approssimazione di Funzioni: Sostituire funzioni trascendenti (es. seno, coseno, esponenziale) con polinomi per semplificare i calcoli.
- Risoluzione di Equazioni Differenziali: Trovare soluzioni approssimate di equazioni differenziali.
- Calcolo di Limiti: Calcolare limiti di forme indeterminate.
- Analisi Numerica: Sviluppare algoritmi per calcolare valori approssimati di funzioni.
Limitazioni:
- Non tutte le funzioni ammettono una serie di Taylor convergente in un intorno di un punto.
- Anche se la serie di Taylor converge, potrebbe non convergere alla funzione f per tutti i valori di x.
- Il calcolo delle derivate successive può essere complesso per alcune funzioni.