Cos'è splines?

Le splines sono funzioni matematiche utilizzate per approssimare o interpolare un set di dati. In sostanza, sono curve composte da segmenti polinomiali che sono uniti insieme in modo uniforme, garantendo che la curva risultante sia liscia e continua. Sono ampiamente utilizzate in grafica computerizzata, progettazione assistita da computer (CAD), animazione e analisi numerica.

Ecco alcuni concetti chiave relativi alle splines:

• Nodi (Knots): Punti in cui i segmenti polinomiali di una spline si uniscono. La posizione dei nodi influenza la forma della spline.

• Grado (Degree): Il grado dei polinomi che compongono la spline. Le spline più comuni sono quelle cubiche (grado 3), che offrono un buon equilibrio tra flessibilità e stabilità computazionale. Splines di grado inferiore (lineari o quadratiche) possono essere usate per approssimazioni più semplici.

• Continuità (Continuity): Le splines sono progettate per essere continue, il che significa che non hanno interruzioni. Inoltre, possono avere continuità nelle loro derivate, garantendo che la curva sia liscia (cioè, non abbia spigoli vivi). La continuità viene spesso denotata come Cⁿ, dove n rappresenta l'ordine della derivata continua. Ad esempio, C¹ indica che la prima derivata è continua.

• Tipi di Spline: Esistono diversi tipi di splines, tra cui:

  • Spline Cubiche Naturali: Hanno derivata seconda uguale a zero agli endpoint.
  • Spline Cubiche Clampate: Le derivate prime agli endpoint sono specificate.
  • B-Spline (Basis Spline): Definite da un insieme di funzioni base, offrono un maggiore controllo sulla forma della curva.
  • NURBS (Non-Uniform Rational B-Spline): Un tipo di B-spline che include pesi per ogni punto di controllo, consentendo una maggiore flessibilità nella modellazione di curve e superfici. Sono molto utilizzate in CAD e grafica 3D.

• Punti di Controllo (Control Points): Punti che influenzano la forma della spline, ma non necessariamente si trovano sulla curva stessa (a differenza dei nodi). La posizione dei punti di controllo determina la curvatura e la direzione della spline.

• Interpolazione e Approssimazione: Le splines possono essere usate sia per interpolare (passare esattamente attraverso i punti dati) che per approssimare (avvicinarsi ai punti dati) un insieme di dati. La scelta dipende dall'applicazione e dalla necessità di accuratezza rispetto alla levigatezza.