Cos'è gaussiana?

Distribuzione Gaussiana (Normale)

La distribuzione gaussiana, o distribuzione normale, è una delle distribuzioni di probabilità più importanti e utilizzate in statistica e probabilità. È caratterizzata dalla sua forma a campana simmetrica e da una formula matematica ben definita. È fondamentale in molte aree della scienza, dell'ingegneria e della finanza.

Caratteristiche principali:

• Forma a campana: La distribuzione gaussiana ha una forma simmetrica a campana, centrata attorno alla sua media.
• Simmetria: È simmetrica rispetto alla media, il che significa che la metà dei dati si trova al di sopra della media e l'altra metà al di sotto.
• Media, mediana e moda: Nella distribuzione normale, la <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/media">media</a>, la mediana e la moda coincidono nello stesso punto, che rappresenta il picco della campana.
• Due parametri: È completamente definita da due parametri: la <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/media">media</a> (μ) che determina la posizione del centro della campana, e la <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/deviazione%20standard">deviazione standard</a> (σ) che determina la larghezza della campana. Una deviazione standard più piccola indica una campana più stretta e alta, mentre una deviazione standard più grande indica una campana più larga e bassa.
• Regola empirica (68-95-99.7): Circa il 68% dei dati si trova entro una deviazione standard dalla media, il 95% entro due deviazioni standard e il 99.7% entro tre deviazioni standard.

Formula della Funzione di Densità di Probabilità (PDF):

La funzione di densità di probabilità (PDF) della distribuzione gaussiana è data da:

f(x) = (1 / (σ * sqrt(2π))) * e^(-((x - μ)^2 / (2 * σ^2)))

Dove:

• x è il valore della variabile aleatoria
• μ è la <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/media">media</a>
• σ è la <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/deviazione%20standard">deviazione standard</a>
• π è pi greco (circa 3.14159)
• e è la base del logaritmo naturale (circa 2.71828)

Importanza:

• Teorema del limite centrale: Una delle ragioni per cui la distribuzione normale è così importante è il <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/teorema%20del%20limite%20centrale">teorema del limite centrale</a> (TLC). Questo teorema afferma che la somma (o la media) di un gran numero di variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite tenderà ad avere una distribuzione approssimativamente normale, indipendentemente dalla distribuzione originale delle variabili.
• Modellazione: Viene utilizzata per modellare una vasta gamma di fenomeni naturali e sociali, come l'altezza e il peso delle persone, i punteggi dei test, gli errori di misurazione, e i rendimenti degli asset finanziari.
• Inferenza statistica: È fondamentale per l'inferenza statistica, come la stima dei parametri e i test di ipotesi. Molti test statistici si basano sull'assunzione di normalità dei dati.
• Machine Learning: Viene utilizzata in diversi algoritmi di machine learning, come ad esempio il Gaussian Naive Bayes e i Gaussian Mixture Models.

Distribuzione Normale Standard:

Un caso speciale della distribuzione normale è la distribuzione normale standard, che ha una <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/media">media</a> di 0 e una <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/deviazione%20standard">deviazione standard</a> di 1. Viene spesso indicata con Z e i suoi valori sono riportati in apposite tabelle (tabelle Z) per calcolare le probabilità.