Eliminatori: Panoramica

Gli eliminatori, in logica matematica e teoria della dimostrazione, sono regole di inferenza che introducono un connettivo logico nel conseguente di una dimostrazione, cioè, che mostrano come usare una proposizione contenente quel connettivo. Sono complementari alle <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/regole%20di%20introduzione">regole di introduzione</a>, che invece introducono il connettivo nell'antecedente.

Funzione:

• Uso (Eliminazione): Gli eliminatori specificano come smontare o utilizzare una proposizione complessa per derivare una nuova proposizione. In altre parole, partendo da una proposizione che contiene un certo connettivo, ci dicono cosa possiamo inferire da essa.

Esempi comuni:

• Eliminazione dell'Implicazione (Modus Ponens):

  • Se abbiamo A → B (se A allora B) e A, allora possiamo concludere B.
  • Formalmente:

  A → B     A
  -------
       B
  

  • Questo è probabilmente l'eliminatore più frequentemente usato.

• Eliminazione della Congiunzione:

  • Se abbiamo A ∧ B (A e B), allora possiamo concludere sia A che B.
  • Formalmente:

  A ∧ B
  -------
      A
  
  A ∧ B
  -------
      B
  

• Eliminazione della Disgiunzione (Dimostrazione per Casi):

  • Se abbiamo A ∨ B (A oppure B), e possiamo dimostrare C assumendo A e possiamo dimostrare C assumendo B, allora possiamo concludere C.
  • Formalmente:

        [A]         [B]
        ⋮           ⋮
  A ∨ B   C           C
  ---------------------
          C
  

  • Qui, [A] e [B] indicano assunzioni temporanee.

Importanza:

• Completezza: Insieme alle <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/regole%20di%20introduzione">regole di introduzione</a>, gli eliminatori costituiscono un sistema completo per la deduzione logica.
• Struttura delle Dimostrazioni: Definendo precisamente come usare proposizioni complesse, gli eliminatori forniscono una struttura rigorosa per costruire dimostrazioni formali.
• Semantica: Gli eliminatori, se ben definiti, riflettono la semantica del connettivo logico a cui si riferiscono.

In Sintesi: Gli eliminatori sono strumenti fondamentali in logica che permettono di estrarre informazioni utili da proposizioni complesse, guidando il processo di deduzione e garantendo la validità delle dimostrazioni. Il loro corretto utilizzo è essenziale per la <a href="https://it.wikiwhat.page/kavramlar/correttezza">correttezza</a> delle argomentazioni logiche.