Cos'è differenziale esatto?

Differenziale Esatto

Un differenziale esatto, in matematica e fisica, è una forma differenziale che può essere espressa come la derivata totale di una funzione scalare. In altre parole, una forma differenziale è esatta se esiste una funzione (potenziale) tale che la sua derivata sia la forma differenziale data.

Definizione Matematica

Data una forma differenziale:

ω = P(x, y) dx + Q(x, y) dy

si dice che ω è un differenziale esatto se esiste una funzione scalare f(x, y) tale che:

• ∂f/∂x = P(x, y)
• ∂f/∂y = Q(x, y)

In questo caso, ω = df, dove df è la derivata totale di f.

Condizione di Esattezza

Una condizione necessaria (e sufficiente, sotto certe condizioni di regolarità del dominio) per l'esattezza è che le derivate parziali incrociate siano uguali:

∂P/∂y = ∂Q/∂x

Questa condizione deriva dal teorema di Schwarz, che afferma che le derivate parziali miste di una funzione con derivate seconde continue sono uguali:

∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x

Implicazioni Fisiche e Termodinamiche

I differenziali esatti sono cruciali in termodinamica, dove rappresentano quantità di stato. Le funzioni di stato dipendono solo dallo stato iniziale e finale del sistema, non dal percorso seguito per raggiungerlo. Esempi di funzioni di stato includono:

• Energia interna (U)
• Entalpia (H)
• Entropia (S)
• Energia libera di Gibbs (G)

Il lavoro (W) e il calore (Q), al contrario, non sono funzioni di stato e quindi i loro differenziali non sono esatti (sono differenziali inesatti). Il lavoro compiuto e il calore scambiato dipendono dal particolare percorso seguito.

Come Verificare l'Esattezza e Trovare la Funzione Potenziale

1. Verificare la condizione di esattezza: Calcolare ∂P/∂y e ∂Q/∂x. Se sono uguali, il differenziale è probabilmente esatto.
2. Trovare la funzione potenziale: Integrare P(x, y) rispetto a x (tenendo y costante): f(x, y) = ∫ P(x, y) dx + g(y)
   • g(y) è una funzione arbitraria di y che dobbiamo determinare.
3. Determinare g(y): Derivare f(x, y) rispetto a y: ∂f/∂y = ∂(∫ P(x, y) dx)/∂y + g'(y). Uguagliare questo risultato a Q(x, y) e risolvere per g'(y). Integrare g'(y) per ottenere g(y).
4. Funzione potenziale finale: Sostituire g(y) nella espressione di f(x, y) ottenuta al punto 2.

Esempio

Sia ω = (2xy + y²) dx + (x² + 2xy) dy.

1. P(x, y) = 2xy + y² e Q(x, y) = x² + 2xy.
2. ∂P/∂y = 2x + 2y e ∂Q/∂x = 2x + 2y. La condizione di esattezza è soddisfatta.
3. f(x, y) = ∫ (2xy + y²) dx = x²y + xy² + g(y)
4. ∂f/∂y = x² + 2xy + g'(y). Uguagliando a Q(x, y), otteniamo x² + 2xy + g'(y) = x² + 2xy, quindi g'(y) = 0. Quindi g(y) = C (una costante).
5. La funzione potenziale è f(x, y) = x²y + xy² + C.