Cos'è derivate?

Le derivate sono un concetto fondamentale nel calcolo differenziale che descrive la velocità di variazione di una funzione rispetto a una delle sue variabili. In termini più semplici, la derivata di una funzione in un punto rappresenta la pendenza della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.

• Definizione: La derivata di una funzione f(x), denotata come f'(x) o df/dx, è definita come il limite del rapporto incrementale quando l'incremento tende a zero:

  f'(x) = lim (h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

• Interpretazioni:

  • Geometrica: La derivata rappresenta la pendenza della retta tangente alla curva nel punto considerato.
  • Fisica: La derivata può rappresentare la velocità (se la funzione rappresenta la posizione in funzione del tempo) o l'accelerazione (se la funzione rappresenta la velocità in funzione del tempo).
  • Generale: Rappresenta il tasso di variazione istantaneo della funzione.

• Regole di derivazione: Esistono diverse regole per calcolare le derivate di funzioni comuni:

  • Regola della potenza: https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Regola%20della%20potenza Se f(x) = x^n, allora f'(x) = nx^(n-1).
  • Regola della costante: https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Regola%20della%20costante Se f(x) = c (dove c è una costante), allora f'(x) = 0.
  • Regola della somma/differenza: https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Regola%20della%20somma%20e%20della%20differenza Se f(x) = g(x) ± h(x), allora f'(x) = g'(x) ± h'(x).
  • Regola del prodotto: https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Regola%20del%20prodotto Se f(x) = g(x) * h(x), allora f'(x) = g'(x) * h(x) + g(x) * h'(x).
  • Regola del quoziente: https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Regola%20del%20quoziente Se f(x) = g(x) / h(x), allora f'(x) = [g'(x) * h(x) - g(x) * h'(x)] / [h(x)]^2.
  • Regola della catena: https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Regola%20della%20catena Se f(x) = g(h(x)), allora f'(x) = g'(h(x)) * h'(x).

• Applicazioni: Le derivate hanno numerose applicazioni in diversi campi:

  • Ottimizzazione: Trovare i massimi e minimi di una funzione.
  • Studio delle funzioni: Analizzare la crescita, la decrescita, la concavità e i punti di flesso di una funzione.
  • Fisica: Calcolare velocità, accelerazioni e altre grandezze fisiche.
  • Economia: Ottimizzare profitti, costi e altre grandezze economiche.
  • Ingegneria: Progettare strutture, circuiti e sistemi.

• Derivate di ordine superiore: Si possono calcolare derivate successive, come la derivata seconda (la derivata della derivata prima), la derivata terza, e così via. Queste derivate forniscono informazioni sulla concavità e sulla velocità di variazione della pendenza della funzione.

• Differenziabilità: Una funzione è differenziabile in un punto se la sua derivata esiste in quel punto. La differenziabilità implica la continuità, ma il contrario non è necessariamente vero (una funzione può essere continua ma non differenziabile in un punto). I punti angolosi, i punti di cuspide e i punti con tangente verticale sono esempi di punti in cui una funzione può essere continua ma non differenziabile.