Cos'è teorema della bisettrice?

Teorema della Bisettrice

Il teorema della bisettrice stabilisce una relazione tra i lati di un triangolo e i segmenti in cui la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto.

Enunciato: In un triangolo, la bisettrice di un angolo interno divide il lato opposto in due segmenti che sono proporzionali agli altri due lati del triangolo.

Formalizzazione:

Consideriamo un triangolo ABC, con AD bisettrice dell'angolo A, dove D è un punto sul lato BC. Allora, secondo il teorema della bisettrice, vale la seguente proporzione:

AB / AC = BD / DC

Dimostrazione:

Esistono diverse dimostrazioni del teorema della bisettrice. Una dimostrazione comune utilizza il concetto di area del triangolo e la formula area = (1/2) * base * altezza.

Un'altra dimostrazione, più elegante, si basa sull'uso del teorema dei seni. Prolungando AD fino ad incontrare la circonferenza circoscritta al triangolo ABC nel punto E, si può applicare il teorema dei seni ai triangoli ABE e ACE, sfruttando l'uguaglianza degli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco.

Applicazioni:

Il teorema della bisettrice è utile per:

• Calcolare la lunghezza dei segmenti in cui la bisettrice divide il lato opposto.
• Determinare se una data retta è una bisettrice.
• Risolvere problemi geometrici che coinvolgono triangoli e bisettrici.

Teorema della Bisettrice Esterna:

Esiste anche un teorema analogo per la bisettrice di un angolo esterno. Se la bisettrice esterna dell'angolo A interseca il prolungamento del lato BC nel punto E, allora vale la seguente proporzione:

AB / AC = BE / CE

Link utili:

• Teorema%20della%20Bisettrice
• Triangoli
• Bisettrici