Cos'è scomposizione in fattori primi?

Scomposizione in Fattori Primi

La scomposizione in fattori primi, detta anche fattorizzazione prima, è un processo fondamentale in matematica che consiste nello scrivere un numero intero positivo come prodotto dei suoi fattori primi. In altre parole, si esprime un numero come la moltiplicazione di numeri primi. Ogni numero intero maggiore di 1 ha una e una sola scomposizione in fattori primi (teorema fondamentale dell'aritmetica).

Numeri Primi: Un numero%20primo è un numero intero maggiore di 1 che ha solo due divisori: 1 e se stesso. Esempi di numeri primi sono 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, ecc.

Come eseguire la scomposizione in fattori primi:

1. Dividi per il più piccolo numero primo (2): Se il numero è pari, dividilo per 2. Continua a dividere per 2 finché non ottieni un numero dispari.
2. Passa al numero primo successivo (3): Se il numero ottenuto è divisibile per 3, dividilo per 3. Continua a dividere per 3 finché non ottieni un numero non divisibile per 3.
3. Continua con i numeri primi successivi: Continua a dividere per i successivi numeri primi (5, 7, 11, 13, e così via) finché non ottieni 1.

Esempio:

Scomponiamo il numero 36 in fattori primi:

• 36 è divisibile per 2: 36 / 2 = 18
• 18 è divisibile per 2: 18 / 2 = 9
• 9 è divisibile per 3: 9 / 3 = 3
• 3 è divisibile per 3: 3 / 3 = 1

Quindi, la scomposizione in fattori primi di 36 è 2 x 2 x 3 x 3, che può essere scritta come 2² x 3².

Utilità della Scomposizione in Fattori Primi:

• Calcolo del Massimo Comune Divisore (MCD): La scomposizione%20in%20fattori%20primi di due o più numeri permette di calcolare il loro MCD. Si prendono i fattori primi comuni a tutti i numeri, ognuno elevato al minimo esponente con cui compare nelle scomposizioni.
• Calcolo del Minimo Comune Multiplo (mcm): Similmente, la scomposizione in fattori primi permette di calcolare il mcm. Si prendono tutti i fattori primi presenti nelle scomposizioni, comuni e non, ognuno elevato al massimo esponente con cui compare.
• Semplificazione di Frazioni: La scomposizione in fattori primi di numeratore e denominatore permette di semplificare le frazioni, eliminando i fattori comuni.
• Crittografia: La difficoltà nel scomporre in fattori primi numeri molto grandi è alla base di alcuni algoritmi di crittografia, come l'RSA.

Teorema Fondamentale dell'Aritmetica: Questo teorema afferma che ogni numero intero maggiore di 1 può essere rappresentato in modo univoco come prodotto di numeri primi, a meno dell'ordine dei fattori. Questo significa che la scomposizione in fattori primi di un numero è unica.

Esempio di Codice (Python):

def scomposizione_fattori_primi(n):
    fattori = []
    d = 2
    while d * d <= n:
        while n % d == 0:
            fattori.append(d)
            n //= d
        d += 1
    if n > 1:
        fattori.append(n)
    return fattori

numero = 36
fattori_primi = scomposizione_fattori_primi(numero)
print(f"La scomposizione in fattori primi di {numero} è: {fattori_primi}") # Output: La scomposizione in fattori primi di 36 è: [2, 2, 3, 3]