Cos'è distribuzione di bernoulli?

La Distribuzione di Bernoulli è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il successo o il fallimento di un singolo esperimento casuale. Si tratta di un caso speciale della distribuzione binomiale dove viene eseguita una sola prova.

In sostanza, un esperimento di Bernoulli ha solo due possibili risultati:

• Successo: L'evento desiderato si verifica. Generalmente indicato con 1.
• Fallimento: L'evento desiderato non si verifica. Generalmente indicato con 0.

La distribuzione di Bernoulli è caratterizzata da un singolo parametro:

• p: La probabilità di successo. È un numero reale compreso tra 0 e 1 (inclusi). La probabilità di fallimento è quindi (1-p), spesso indicata come q.

Funzione di massa di probabilità (PMF):

La funzione di massa di probabilità definisce la probabilità di ottenere ciascuno dei possibili valori. Per una variabile aleatoria X che segue una distribuzione di Bernoulli:

• P(X = 1) = p (Probabilità di successo)
• P(X = 0) = 1 - p (Probabilità di fallimento)

Può essere scritta in forma compatta come:

P(X = x) = p^x(1-p)^(1-x) per x ∈ {0, 1}

Media (Valore Atteso):

La media della distribuzione di Bernoulli è semplicemente la probabilità di successo:

E[X] = p

Varianza:

La varianza della distribuzione di Bernoulli è data da:

Var(X) = p(1 - p)

Esempio:

Il lancio di una moneta non truccata è un classico esempio. Se definiamo "testa" come successo (X = 1) e "croce" come fallimento (X = 0), e la moneta non è truccata, allora p = 0.5. La distribuzione di Bernoulli descriverà la probabilità di ottenere testa o croce in un singolo lancio.

Importanza:

La distribuzione di Bernoulli è fondamentale perché:

• È la base per altre distribuzioni più complesse come la distribuzione binomiale e la distribuzione di Poisson.
• Viene utilizzata in molti problemi di modellazione e inferenza statistica.
• Rappresenta la base per la costruzione di modelli di classificazione in machine learning, in particolare per problemi di classificazione binaria.