Cos'è distribuzione binomiale?

Distribuzione Binomiale

La distribuzione binomiale è una distribuzione di probabilità discreta che descrive il numero di successi in una sequenza di n prove indipendenti, ognuna con una probabilità di successo p. È ampiamente utilizzata in statistica per modellare eventi binari, ovvero eventi che hanno solo due risultati possibili: successo o fallimento.

Caratteristiche Chiave:

• Numero fisso di prove (n): La distribuzione binomiale si basa su un numero predefinito di prove indipendenti.
• Indipendenza delle prove: Il risultato di una prova non influenza il risultato di un'altra prova.
• Due risultati possibili: Ogni prova può avere solo due risultati: successo o fallimento.
• Probabilità costante di successo (p): La probabilità di successo è la stessa per ogni prova.

Funzione di Massa di Probabilità (PMF):

La probabilità di ottenere esattamente k successi in n prove è data dalla funzione di massa di probabilità:

P(X = k) = (n choose k) * p^k * (1 - p)^(n - k)

dove:

• X è la variabile casuale che rappresenta il numero di successi.
• k è il numero di successi desiderato.
• (n choose k) è il coefficiente binomiale, calcolato come n! / (k! * (n - k)!).
• p è la probabilità di successo in una singola prova.
• (1 - p) è la probabilità di fallimento in una singola prova.

Parametri:

La distribuzione binomiale è definita da due parametri:

• n: Il numero di prove.
• p: La probabilità di successo in una singola prova.

Media e Varianza:

La media (valore atteso) e la varianza della distribuzione binomiale sono:

• Media: μ = n * p
• Varianza: σ^2 = n * p * (1 - p)

Esempi:

• Lancio di una moneta n volte e conteggio del numero di teste.
• Estrazione di un campione di n elementi da una popolazione e conteggio del numero di elementi difettosi.
• Somministrazione di un farmaco a n pazienti e conteggio del numero di pazienti che mostrano un miglioramento.

Relazione con altre distribuzioni:

• Per grandi valori di n e piccoli valori di p, la distribuzione binomiale può essere approssimata dalla Distribuzione di Poisson.
• Per grandi valori di n, la distribuzione binomiale può essere approssimata dalla Distribuzione Normale (grazie al teorema del limite centrale).