Cos'è distribuzione di poisson?

Distribuzione di Poisson

La distribuzione di Poisson è una distribuzione di probabilità discreta che esprime la probabilità che un dato numero di eventi si verifichi in un intervallo di tempo o luogo fissato se questi eventi si verificano con una frequenza media costante e indipendentemente dal tempo trascorso dall'ultimo evento.

Definizione formale:

Una variabile casuale X si dice che segue una distribuzione di Poisson con parametro λ > 0 (si scrive X ~ Poisson(λ)) se la sua funzione di probabilità è data da:

P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k!

dove:

• k è il numero di eventi che si verificano (k = 0, 1, 2, ...)
• λ è il tasso medio di eventi (il valore atteso) per intervallo (in genere tempo o spazio)
• e è la base del logaritmo naturale (e ≈ 2.71828)
• k! è il fattoriale di k

Caratteristiche principali:

• Parametro: La distribuzione di Poisson è caratterizzata da un singolo parametro, λ (lambda), che rappresenta il tasso%20medio%20di%20occorrenza degli eventi.
• Valore atteso e varianza: Il valore atteso (media) e la varianza di una distribuzione di Poisson sono entrambi uguali a λ. E[X] = Var[X] = λ.
• Eventi indipendenti: Assume che gli eventi siano indipendenti tra loro. La realizzazione di un evento non influenza la probabilità di realizzazione di un altro evento.
• Eventi rari: La distribuzione di Poisson è spesso utilizzata per modellare eventi rari.
• Intervallo fisso: Si applica a un intervallo di tempo o spazio fisso.

Utilizzi tipici:

La distribuzione di Poisson trova applicazione in vari campi, tra cui:

• Traffico telefonico: Numero di chiamate ricevute da un centralino in un'ora.
• Controllo qualità: Numero di difetti in un lotto di prodotti.
• Biologia: Numero di mutazioni in una sequenza di DNA.
• Assicurazioni: Numero di sinistri in un determinato periodo.
• Radiazioni: Numero di particelle emesse da una sostanza radioattiva in un dato intervallo di tempo.
• Code: Numero di clienti che arrivano a una coda in un'ora.

Relazione con altre distribuzioni:

• Distribuzione binomiale: La distribuzione di Poisson può essere utilizzata come approssimazione della distribuzione%20binomiale quando n (il numero di prove) è grande e p (la probabilità di successo in ogni prova) è piccola, in modo che n * p* sia approssimativamente uguale a λ. In pratica, l'approssimazione è buona se n ≥ 20 e p ≤ 0.05.
• Distribuzione esponenziale: L'intervallo di tempo tra eventi consecutivi in un processo di Poisson segue una distribuzione%20esponenziale.

Esempio:

Supponiamo che una stampante produca in media 3 errori per pagina. Qual è la probabilità che una pagina contenga esattamente 5 errori?

λ = 3 (tasso medio di errori per pagina) k = 5 (numero desiderato di errori)

P(X = 5) = (3^5 * e^(-3)) / 5! = (243 * 0.049787) / 120 ≈ 0.1008

Quindi, la probabilità che una pagina contenga esattamente 5 errori è di circa 0.1008.