Cos'è derivata?

Derivata in Analisi Matematica

In analisi matematica, la derivata di una funzione reale di una variabile reale misura la sensibilità al cambiamento del valore della funzione rispetto a una variazione della variabile indipendente. Rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in un punto specifico.

Definizione:

La derivata di una funzione f(x) nel punto x₀ è definita come il limite del rapporto incrementale al tendere dell'incremento (h) a zero, se questo limite esiste. Formalmente:

f'(x₀) = lim (h→0) [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h

Questo limite, se esistente, è chiamato derivata di f in x₀ e viene indicato con f'(x₀) oppure con df/dx (x₀).

Interpretazione geometrica:

Geometricamente, la derivata rappresenta il coefficiente angolare della retta%20tangente al grafico della funzione nel punto (x₀, f(x₀)).

Regole di derivazione:

Esistono diverse regole che facilitano il calcolo delle derivate di funzioni più complesse. Alcune delle più comuni sono:

• Derivata di una costante: La derivata di una costante è sempre zero.
• Derivata di una potenza: La derivata di xⁿ è nxⁿ⁻¹.
• Derivata di una somma: La derivata della somma di due funzioni è la somma delle derivate delle singole funzioni.
• Derivata di un prodotto: La derivata del prodotto di due funzioni si calcola con la regola del prodotto: (f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)
• Derivata di un quoziente: La derivata del quoziente di due funzioni si calcola con la regola del quoziente: (f(x)/g(x))' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)] / [g(x)]²
• Regola della catena: La derivata di una funzione composta si calcola con la regola della catena: (f(g(x)))' = f'(g(x)) * g'(x)

Applicazioni:

Le derivate hanno numerose applicazioni in diversi campi, tra cui:

• Ottimizzazione: Trovare i massimi e i minimi di una funzione.
• Studio di funzioni: Analizzare la crescita, la decrescenza e la concavità di una funzione.
• Fisica: Calcolare velocità e accelerazione.
• Economia: Determinare il costo marginale e il ricavo marginale.

Derivate di ordine superiore:

La derivata della derivata di una funzione è chiamata derivata%20seconda (https://it.wikiwhat.page/kavramlar/derivata%20seconda) e si indica con f''(x). Si possono definire anche derivate di ordine superiore (terza, quarta, ecc.).

Differenziabilità:

Una funzione è detta differenziabile in un punto se la sua derivata esiste in quel punto. La differenziabilità implica la continuità della funzione, ma il contrario non è sempre vero.