Cos'è parabola?

Parabola

La parabola è una curva piana definita come il luogo geometrico dei punti equidistanti da un punto fisso, detto fuoco, e da una retta fissa, detta direttrice.

Definizione Formale:

Siano F un punto (il fuoco) e d una retta (la direttrice) nel piano, con F non appartenente a d. La parabola è l'insieme di tutti i punti P del piano tali che la distanza di P da F è uguale alla distanza di P da d:

dist(P, F) = dist(P, d)

Equazione della Parabola:

Esistono diverse forme di equazione per una parabola, a seconda dell'orientamento e della posizione nel piano cartesiano. Le più comuni sono:

• Equazione in forma canonica (parabola con asse parallelo all'asse y):

  y = ax² + bx + c

  Dove:

  • a, b, e c sono coefficienti reali, con a ≠ 0.
  • Il vertice della parabola ha coordinate (-b/2a, -Δ/4a), dove Δ = b² - 4ac è il discriminante.
  • Il fuoco ha coordinate (-b/2a, (1-Δ)/4a).
  • La direttrice ha equazione y = -(1+Δ)/4a.
  • L'asse di simmetria ha equazione x = -b/2a.

• Equazione in forma canonica (parabola con asse parallelo all'asse x):

  x = ay² + by + c

  Dove:

  • a, b, e c sono coefficienti reali, con a ≠ 0. In questo caso, la parabola si apre a destra (se a > 0) o a sinistra (se a < 0).

• Forma generale:

  Ax² + By² + Cx + Dy + E = 0

  Con la condizione che uno tra A e B sia zero, ma non entrambi.

Elementi Chiave di una Parabola:

• Vertice: Il punto della parabola più vicino alla direttrice.
• Fuoco: Il punto utilizzato nella definizione della parabola.
• Direttrice: La retta utilizzata nella definizione della parabola.
• Asse di Simmetria: La retta che passa per il fuoco e il vertice, ed è perpendicolare alla direttrice. La parabola è simmetrica rispetto a questo asse.
• Parametro (p): La distanza tra il fuoco e la direttrice (e quindi anche la distanza tra il vertice e il fuoco o tra il vertice e la direttrice). Spesso legato al coefficiente a nell'equazione.

Applicazioni:

Le parabole hanno numerose applicazioni in diversi campi, tra cui:

• Fisica: Traiettorie dei proiettili, riflettori parabolici per antenne e fari.
• Architettura: Archi parabolici per ponti e strutture.
• Ingegneria: Design di antenne paraboliche, specchi solari.
• Ottica: Lenti paraboliche.