Cos'è omeomorfismo?

Un omeomorfismo è una relazione tra due spazi topologici che preserva la struttura topologica tra di essi. In altre parole, è una mappa biunivoca tra due spazi che è continua, aperta e ha un'inversa continua.

Più specificamente, date due spazi topologici X e Y, un omeomorfismo tra di essi è una mappa f: X -> Y tale che:

1. f è biunivoca: ogni punto x in X è associato a un unico punto f(x) in Y e viceversa,
2. f è continua: se A è un sottoinsieme aperto di Y, allora l'insieme preimmagine f^(-1)(A) è un sottoinsieme aperto di X,
3. l'inversa di f, f^(-1): Y -> X, è continua: se B è un sottoinsieme aperto di X, allora l'insieme immagine f(B) è un sottoinsieme aperto di Y.

Quindi, gli omeomorfismi rappresentano un tipo di equivalenza topologica tra spazi, in quanto due spazi che sono omeomorfi hanno proprietà topologiche simili o equivalenti. Ad esempio, due spazi omeomorfi condividono la stessa connettività, compattezza e possono essere considerati "topologicamente indistinguibili".

Gli omeomorfismi sono un concetto fondamentale nella teoria dei gruppi, dell'analisi e della topologia algebrica, tra gli altri ambiti matematici. Essi consentono di stabilire corrispondenze tra spazi che sono invarianti rispetto a raggruppamenti e manipolazioni matematiche.