Cos'è delaunay?
Triangolazione di Delaunay
La triangolazione di Delaunay è una triangolazione di un insieme di punti in uno spazio euclideo, che massimizza l'angolo più piccolo di tutti gli angoli dei triangoli nella triangolazione. In altre parole, cerca di evitare triangoli "magri" o allungati, producendo triangoli il più possibile equiangolari.
Definizione Formale:
Data una serie di punti P nel piano, una triangolazione di Delaunay di P è una triangolazione tale che nessun punto in P è interno alla circonferenza circoscritta (circumcerchio) di qualsiasi triangolo nella triangolazione. Questa proprietà è spesso definita come la "condizione del cerchio vuoto".
Proprietà Importanti:
- Unicità: Se i punti sono in posizione generale (cioè, nessun quattro punti sono conciclici), la triangolazione di Delaunay è unica.
- Massimizzazione dell'angolo minimo: Come detto, la triangolazione massimizza l'angolo più piccolo di tutti gli angoli nei triangoli.
- Dualità con il diagramma di Voronoi: La triangolazione di Delaunay è il grafo duale del diagramma di Voronoi per lo stesso insieme di punti. Questo significa che ogni vertice del diagramma di Voronoi corrisponde a un triangolo nella triangolazione di Delaunay, e ogni spigolo del diagramma di Voronoi corrisponde a uno spigolo nella triangolazione. Comprendere il concetto di Diagramma%20di%20Voronoi è essenziale per comprendere appieno la triangolazione di Delaunay.
- Costo Computazionale: L'algoritmo ottimale per calcolare la triangolazione di Delaunay ha una complessità temporale di O(n log n), dove n è il numero di punti.
Applicazioni:
La triangolazione di Delaunay ha una vasta gamma di applicazioni in vari campi, tra cui:
- Modellazione 3D: Utilizzata per creare modelli 3D di terreni e oggetti.
- Grafica Computerizzata: Usata per la generazione di mesh e la modellazione di superfici.
- Analisi Spaziale: Utilizzata in GIS (Geographic Information Systems) per l'interpolazione e l'analisi di dati spaziali.
- Mesh generation: La Generazione%20di%20Mesh è un'area in cui la triangolazione di Delaunay eccelle, producendo mesh di alta qualità adatte per simulazioni e analisi.
- Ricerca del vicino più vicino: La triangolazione fornisce una struttura utile per la ricerca efficiente del Vicino%20più%20vicino.
Algoritmi:
Esistono diversi algoritmi per calcolare la triangolazione di Delaunay, tra cui:
- Flip Algorithm: Un algoritmo iterativo che parte da una triangolazione qualsiasi e la modifica ripetutamente scambiando (flippando) gli spigoli fino a soddisfare la condizione del cerchio vuoto.
- Divide and Conquer: Divide l'insieme di punti in sottoinsiemi più piccoli, calcola la triangolazione di Delaunay per ciascun sottoinsieme e poi le unisce.
- Incremental Insertion: Inserisce i punti uno alla volta, aggiornando la triangolazione esistente ad ogni inserimento.
Considerazioni aggiuntive:
- La triangolazione di Delaunay può essere estesa a dimensioni superiori a due, anche se la sua complessità aumenta notevolmente.
- La Costruzione%20Convexa è strettamente legata alla triangolazione di Delaunay, specialmente in dimensioni superiori.