Cos'è omeomorfismo?

Omeomorfismo

In topologia, un omeomorfismo (dal greco ὅμοιος (hómoios) = simile, e μορφή (morphḗ) = forma) è una funzione biiettiva continua tra due spazi topologici che ha inversa continua. In altre parole, è una corrispondenza biunivoca che preserva la topologia, ovvero la "forma" di uno spazio. Due spazi topologici si dicono omeomorfi se esiste un omeomorfismo tra essi. Un omeomorfismo è anche chiamato applicazione topologica o trasformazione bicontinua.

In termini più intuitivi, due spazi sono omeomorfi se uno può essere trasformato nell'altro tramite piegamenti, stiramenti, torsioni e simili, senza incollare o tagliare. Ad esempio, una tazza da caffè con un manico è omeomorfa a una ciambella (toro).

Definizione formale:

Siano X e Y due spazi topologici. Una funzione f: X → Y è un omeomorfismo se:

1. f è una biiezione (cioè, è iniettiva e suriettiva).
2. f è continua.
3. La funzione inversa f^-1: Y → X è continua.

Proprietà preservate dagli omeomorfismi (invarianti topologici):

Gli omeomorfismi preservano molte proprietà topologiche importanti, come:

• Connessione: se X è connesso, allora anche Y è connesso.
• Compattezza: se X è compatto, allora anche Y è compatto.
• Gruppo fondamentale: gli spazi omeomorfi hanno gruppi fondamentali isomorfi.

Queste proprietà che vengono preservate dagli omeomorfismi sono chiamate invarianti topologici.

Esempi:

• Un intervallo aperto (a, b) e la retta reale ℝ sono omeomorfi. Una funzione omeomorfa che mappa (a, b) su ℝ è data da f(x) = tan(π(x - a)/(b - a)).
• Un quadrato e un cerchio sono omeomorfi.
• La superficie di una sfera e la superficie di un cubo sono omeomorfe.
• Un toro e una tazza da caffè con un manico sono omeomorfi.

Non esempi:

• Un intervallo aperto (a, b) e un intervallo chiuso [a, b] non sono omeomorfi. L'intervallo chiuso è compatto, mentre l'intervallo aperto non lo è.
• La retta reale ℝ e il piano ℝ² non sono omeomorfi (anche se questo è meno ovvio da dimostrare).
• Una lettera "O" e una lettera "P" non sono omeomorfe (la "O" non ha punti di taglio, la "P" ne ha uno).

Differenza tra omeomorfismo e diffeomorfismo:

Un diffeomorfismo è una funzione biiettiva differenziabile con inversa differenziabile. La differenziabilità è una condizione più forte della continuità. Quindi, un diffeomorfismo è anche un omeomorfismo, ma non vale il viceversa. Gli omeomorfismi preservano solo le proprietà topologiche, mentre i diffeomorfismi preservano anche le proprietà differenziabili. Ad esempio, una curva con un angolo (cioè, non differenziabile) può essere trasformata in una curva liscia tramite un omeomorfismo, ma non tramite un diffeomorfismo.

In sintesi, l'omeomorfismo è un concetto fondamentale in topologia che formalizza l'idea intuitiva di quando due spazi topologici hanno la stessa "forma" topologica.