In algebra lineare, un autovalore (o valore proprio, in inglese eigenvalue) di una trasformazione lineare è uno scalare che, moltiplicato per un autovettore, restituisce il vettore trasformato. Più formalmente, data una trasformazione lineare rappresentata da una matrice A, un autovettore v e un autovalore λ soddisfano l'equazione:
Av = λv
Dove:
Definizione formale:
Sia V uno spazio vettoriale su un campo F (ad esempio, i numeri reali o complessi) e sia T : V → V una trasformazione lineare. Un autovettore di T è un vettore non nullo v ∈ V tale che T(v) = λv per qualche scalare λ ∈ F. Lo scalare λ è chiamato autovalore di T corrispondente all'autovettore v.
Come trovarli:
Per trovare gli autovalori di una matrice A, si risolve l'equazione caratteristica:
det(A - λI) = 0
Dove:
La soluzione di questa equazione polinomiale (polinomio caratteristico) darà gli autovalori di A.
Significato geometrico:
Geometricamente, un autovettore è un vettore che, quando trasformato dalla matrice A, non cambia direzione. Viene solo scalato di un fattore dato dall'autovalore corrispondente. Un autovalore positivo significa che l'autovettore viene allungato nella stessa direzione, mentre un autovalore negativo significa che viene allungato nella direzione opposta. Un autovalore di zero significa che l'autovettore viene mappato al vettore nullo.
Applicazioni:
Gli autovalori e gli autovettori hanno numerose applicazioni in vari campi, tra cui:
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