Cos'è teorema di stokes?

Teorema di Stokes

Il Teorema di Stokes è un teorema fondamentale del calcolo vettoriale che generalizza il Teorema fondamentale del calcolo all'integrazione su curve e superfici nello spazio tridimensionale. Esso mette in relazione l'integrale di linea di un campo vettoriale attorno a una curva chiusa con l'integrale di superficie del rotore del campo vettoriale sulla superficie delimitata dalla curva.

In termini più precisi, sia Σ una superficie orientabile e liscia a tratti nello spazio tridimensionale e sia C il bordo di Σ, che è una curva chiusa anch'essa orientabile. Sia F un campo vettoriale differenziabile in una regione aperta contenente Σ. Allora, il teorema di Stokes afferma che:

∮_C F · dr = ∬_Σ (∇ × F) · dS

Dove:

• ∮_C F · dr rappresenta l' integrale di linea del campo vettoriale F lungo la curva C.
• ∬_Σ (∇ × F) · dS rappresenta l'integrale di superficie del rotore (∇ × F) del campo vettoriale F sulla superficie Σ.
• ∇ × F rappresenta il rotore del campo vettoriale F.
• dr è un vettore infinitesimale tangente alla curva C.
• dS è un vettore normale infinitesimale alla superficie Σ.

Condizioni e precisazioni:

• L'orientamento di C deve essere coerente con l'orientamento di Σ secondo la regola della mano destra. Se si percorre C in senso antiorario quando visto dalla direzione del vettore normale dS, allora l'orientamento è coerente.
• La superficie Σ deve essere orientabile. Questo significa che è possibile definire un vettore normale continuo su tutta la superficie.
• Il campo vettoriale F deve essere differenziabile almeno una volta in una regione aperta contenente la superficie Σ.

Implicazioni e Applicazioni:

• Il teorema di Stokes generalizza il Teorema di Green al caso di superfici nello spazio tridimensionale.
• E' utilizzato ampiamente in fisica, in particolare in elettromagnetismo per mettere in relazione campi elettrici e magnetici variabili nel tempo. Ad esempio, è fondamentale nella derivazione della legge di Faraday.
• Permette di semplificare il calcolo di integrali di linea o integrali di superficie, trasformando l'uno nell'altro a seconda della situazione.

In sintesi, il teorema di Stokes fornisce una connessione importante tra il comportamento di un campo vettoriale lungo il bordo di una superficie e il comportamento del suo rotore sulla superficie stessa, e trova applicazioni significative in diversi campi scientifici e ingegneristici.