Cos'è prodotto vettoriale?

Prodotto Vettoriale (o Prodotto Esterno)

Il prodotto vettoriale, anche detto prodotto esterno (in inglese cross product), è un'operazione binaria tra due vettori in uno spazio tridimensionale euclideo che produce un terzo vettore perpendicolare a entrambi. A differenza del prodotto%20scalare, il prodotto vettoriale produce un vettore, non uno scalare.

Definizione:

Dati due vettori a e b in ℝ³, il loro prodotto vettoriale è denotato come a × b e il risultato è un vettore c definito come:

• Modulo: |a × b| = |a| |b| sin(θ), dove θ è l'angolo tra a e b (0° ≤ θ ≤ 180°).
• Direzione: Perpendicolare sia ad a che a b.
• Verso: Determinato dalla regola%20della%20mano%20destra: se si punta l'indice della mano destra nella direzione di a e il medio nella direzione di b, allora il pollice indicherà la direzione di a × b.

Calcolo:

Se a = (a₁, a₂, a₃) e b = (b₁, b₂, b₃), allora il prodotto vettoriale a × b si calcola tramite il determinante formale:

a × b = |  i   j   k |
          | a₁  a₂  a₃|
          | b₁  b₂  b₃|

      = (a₂b₃ - a₃b₂) i - (a₁b₃ - a₃b₁) j + (a₁b₂ - a₂b₁) k

Dove i, j, e k sono i versori degli assi x, y, e z rispettivamente.

Proprietà:

• Anticommutatività: a × b = - (b × a)
• Distributività: a × (b + c) = a × b + a × c
• Associatività rispetto alla moltiplicazione per uno scalare: (ka) × b = k(a × b) = a × (kb)
• Prodotto triplo misto: a · (b × c) = b · (c × a) = c · (a × b). Geometricamente, il valore assoluto del prodotto triplo misto rappresenta il volume del parallelepipedo definito dai vettori a, b e c.
• **Se a e b sono paralleli (θ = 0° o θ = 180°), allora a × b = 0.

Applicazioni:

Il prodotto vettoriale trova applicazioni in vari campi, tra cui:

• Fisica: Calcolo del momento di una forza, momento angolare, forza di Lorentz.
• Grafica 3D: Calcolo delle normali alle superfici.
• Geometria: Calcolo dell'area di un parallelogramma definito da due vettori adiacenti. La norma del prodotto vettoriale è l'area di questo parallelogramma.
• Navigazione: Determinazione dell'orientamento nello spazio.

In sintesi, il prodotto vettoriale è un potente strumento per l'analisi di vettori nello spazio tridimensionale, fornendo informazioni cruciali sulla loro orientazione e sulle aree e volumi che definiscono. Il concetto di prodotto%20triplo si basa sul prodotto vettoriale.