Le funzioni di Mathieu sono una soluzione all'equazione differenziale di Mathieu, un'equazione differenziale del secondo ordine che appare in vari problemi fisici, tra cui la propagazione delle onde ellittiche, la meccanica quantistica (come l'oscillatore di Mathieu) e l'analisi della stabilità dinamica.
L'equazione di Mathieu è espressa come:
y''(x) + (a - 2q cos(2x))y(x) = 0
Dove:
Le soluzioni di questa equazione sono le funzioni di Mathieu, che possono essere classificate in due tipi principali:
Funzioni di Mathieu pari, indicate come ce<sub>n</sub>(x, q), dove n è un intero non negativo. Queste funzioni sono periodiche con periodo π o 2π e sono pari. Per maggiori dettagli, vedi Funzioni%20di%20Mathieu%20Pari.
Funzioni di Mathieu dispari, indicate come se<sub>n</sub>(x, q), dove n è un intero positivo. Queste funzioni sono periodiche con periodo π o 2π e sono dispari. Per maggiori dettagli, vedi Funzioni%20di%20Mathieu%20Dispari.
Le funzioni di Mathieu e i relativi valori caratteristici di Mathieu (Valori%20Caratteristici%20di%20Mathieu) a<sub>n</sub>(q) e b<sub>n</sub>(q) (che determinano per quali valori di a si hanno soluzioni periodiche) sono ampiamente tabulati e implementati in software matematico come Mathematica, Maple e MATLAB.
Le funzioni di Mathieu possono essere rappresentate come serie di Fourier.
Le funzioni di Mathieu generalizzate e le equazioni correlate trovano applicazioni in diversi settori, tra cui:
Per il calcolo, si utilizzano comunemente metodi numerici, come lo sviluppo in serie di Fourier o algoritmi basati su matrici di trasferimento. Per saperne di più sui Metodi%20Numerici%20per%20Funzioni%20di%20Mathieu, consulta la pagina collegata.
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