Cos'è primo ordine?

Equazione Differenziale del Primo Ordine

Un'equazione differenziale del primo ordine è un'equazione differenziale che coinvolge solo una funzione incognita e le sue derivate prime rispetto a una sola variabile indipendente. In altre parole, l'ordine più alto della derivata presente nell'equazione è uno.

Forma generale:

Un'equazione differenziale del primo ordine può essere scritta nella forma generale:

F(x, y, y') = 0

Dove:

• x è la variabile indipendente.
• y è la funzione incognita di x, cioè y = y(x).
• y' è la derivata prima di y rispetto a x, cioè y' = dy/dx.
• F è una funzione che associa i valori di x, y, e y' a zero.

Forma normale:

L'equazione può essere scritta in forma normale esplicitando y':

y' = f(x, y)

Dove f è una funzione di x e y.

Tipi Comuni di Equazioni del Primo Ordine:

• Equazioni separabili: Un'equazione separabile può essere scritta nella forma g(y) dy = h(x) dx. Queste equazioni possono essere risolte integrando entrambi i lati. Equazione%20separabile

• Equazioni lineari: Un'equazione lineare ha la forma y' + p(x)y = q(x), dove p(x) e q(x) sono funzioni di x. Queste equazioni possono essere risolte usando un fattore integrante. Equazione%20lineare

• Equazioni esatte: Un'equazione esatta ha la forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, dove ∂M/∂y = ∂N/∂x. La soluzione può essere trovata integrando. Equazione%20esatta

• Equazioni omogenee: Un'equazione omogenea può essere scritta nella forma dy/dx = f(y/x). Si possono risolvere usando la sostituzione v = y/x. Equazione%20omogenea

Soluzione di un'equazione del primo ordine:

Una soluzione di un'equazione differenziale del primo ordine è una funzione y = φ(x) che, quando sostituita nell'equazione, la soddisfa identicamente.

Condizioni Iniziali:

Per trovare una soluzione particolare di un'equazione differenziale del primo ordine, è spesso necessario specificare una condizione iniziale della forma y(x₀) = y₀, dove x₀ e y₀ sono valori noti. Condizione%20iniziale

Applicazioni:

Le equazioni differenziali del primo ordine trovano applicazioni in una vasta gamma di campi, tra cui:

• Fisica (ad esempio, decadimento radioattivo, leggi di Newton)
• Ingegneria (ad esempio, circuiti elettrici, flusso di calore)
• Biologia (ad esempio, crescita della popolazione, diffusione di malattie)
• Economia (ad esempio, modelli di crescita economica)