Cos'è nullita?

La nullità (o kernel) di una trasformazione lineare è un concetto fondamentale nell'algebra lineare.

Formalmente, data una trasformazione lineare T: V → W tra due spazi vettoriali V e W, la nullità di T, denotata come null(T), è l'insieme di tutti i vettori in V che vengono mappati al vettore zero in W. In altre parole:

null(T) = {v ∈ V | T(v) = 0_W}

Dove 0_W rappresenta il vettore zero in W.

Caratteristiche Importanti:

• Sottospazio Vettoriale: La nullità di T è sempre un sottospazio vettoriale di V. Questo significa che è chiusa rispetto all'addizione vettoriale e alla moltiplicazione scalare. [https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Sottospazio%20Vettoriale]

• Legame con l'Iniettività: Una trasformazione lineare T è iniettiva (o uno-a-uno) se e solo se la sua nullità contiene solo il vettore zero. In simboli: T è iniettiva ⇔ null(T) = {0_V}. [https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Iniettività]

• Rango-Nullità (Teorema della Dimensione): Il teorema della dimensione (o teorema rango-nullità) stabilisce una relazione fondamentale tra la dimensione della nullità (la nullità come numero, non l'insieme) e il rango di una trasformazione lineare:

  dim(V) = dim(null(T)) + dim(immagine(T))

  Dove:

  • dim(V) è la dimensione dello spazio vettoriale V.
  • dim(null(T)) è la dimensione della nullità di T (cioè, la nullità di T).
  • dim(immagine(T)) è la dimensione dell'immagine di T (cioè, il rango di T). [https://it.wikiwhat.page/kavramlar/Rango%20di%20una%20Matrice]

Calcolo della Nullità:

Per trovare la nullità di una trasformazione lineare rappresentata da una matrice A, si risolve il sistema lineare omogeneo Ax = 0. L'insieme delle soluzioni di questo sistema è la nullità di A.

Esempio:

Sia T: R³ → R² una trasformazione lineare definita da T(x, y, z) = (x + y, y - z). Per trovare la nullità di T, dobbiamo trovare tutti i vettori (x, y, z) tali che T(x, y, z) = (0, 0). Questo significa risolvere il sistema:

• x + y = 0
• y - z = 0

Dalla prima equazione abbiamo x = -y e dalla seconda abbiamo z = y. Quindi, i vettori nella nullità di T sono della forma (-y, y, y) = y(-1, 1, 1). Pertanto, null(T) = span{(-1, 1, 1)}. La dimensione della nullità è 1.