Cos'è il paradosso di monty hall?

Il Paradosso di Monty Hall

Il Paradosso di Monty Hall è un problema di probabilità controintuitivo, basato sul gioco televisivo "Let's Make a Deal" (in Italia "Affari Tuoi"). Il problema prende il nome dal conduttore originale del gioco, Monty Hall.

Il Problema:

Al concorrente vengono presentate tre porte chiuse. Dietro una di esse c'è un'auto, dietro le altre due ci sono delle capre (o altri premi di scarso valore). Il concorrente sceglie inizialmente una porta (ad esempio, la porta numero 1). Monty Hall, che sa dove si trova l'auto, apre una delle altre due porte (ad esempio, la porta numero 3) per rivelare una capra. A questo punto, Monty offre al concorrente la possibilità di cambiare la sua scelta originale e passare alla porta rimanente (in questo caso, la porta numero 2).

La Domanda:

È vantaggioso per il concorrente cambiare porta?

La Risposta (controintuitiva):

Sì, è vantaggioso cambiare porta. Cambiare porta raddoppia la probabilità di vincere l'auto.

La Spiegazione:

• Fase 1: Scelta iniziale: Quando il concorrente sceglie una porta all'inizio, ha 1/3 di probabilità di aver scelto la porta con l'auto e 2/3 di probabilità di aver scelto una porta con una capra.

• Fase 2: Monty apre una porta: L'azione di Monty è fondamentale. Monty sa dove si trova l'auto e aprirà sempre una porta che nasconde una capra. Questa informazione cambia le probabilità.

• Fase 3: Cambiare porta: Se il concorrente ha scelto inizialmente una capra (probabilità di 2/3), Monty sarà costretto ad aprire l'altra porta con la capra, e quindi cambiare porta porterà all'auto. Se il concorrente ha scelto inizialmente l'auto (probabilità di 1/3), Monty aprirà una delle porte con la capra, e cambiare porta porterà a una capra.

Quindi, cambiando porta, il concorrente vince l'auto nei 2/3 dei casi in cui ha scelto inizialmente una capra.

Perché è un paradosso?:

La maggior parte delle persone, istintivamente, pensa che dopo che Monty ha rivelato una capra, le due porte rimanenti abbiano la stessa probabilità (50/50) di nascondere l'auto. Questa intuizione è errata perché non tiene conto dell'informazione supplementare fornita da Monty. L'azione di Monty non è casuale; egli sa dove si trova l'auto e agisce di conseguenza.

Ulteriori discussioni:

• La chiave per capire il paradosso è rendersi conto che la scelta iniziale del concorrente ha una probabilità di 1/3 di essere corretta, e questa probabilità non cambia quando Monty apre una porta. La probabilità di 2/3 di aver inizialmente scelto una capra si concentra interamente sulla porta rimanente dopo l'apertura di Monty.
• Se Monty aprisse una porta casualmente (senza sapere cosa c'è dietro), allora la probabilità sarebbe effettivamente 50/50 e cambiare porta non farebbe alcuna differenza.

Concetti chiave (con link):

• Probabilità Condizionata
• Teorema di Bayes (anche se non strettamente necessario per capire il paradosso, fornisce un framework formale per l'aggiornamento delle probabilità)
• Intuizione vs. Ragionamento Logico
• Bias Cognitivi (in particolare, la difficoltà a comprendere e applicare la probabilità condizionata)